5198 - NOIP2023 提高:第二题 三值逻辑(tribool)
小 L 今天学习了 Kleene 三值逻辑。
在三值逻辑中,一个变量的值可能为:真(\mathit{True},简写作 \mathit{T})、假(\mathit{False},简写作 \mathit{F})或未确定(\mathit{Unknown},简写作 \mathit{U})。
在三值逻辑上也可以定义逻辑运算。由于小 L 学习进度很慢,只掌握了逻辑非运算 \lnot,其运算法则为: \lnot \mathit{T} = \mathit{F}, \lnot \mathit{F} = \mathit{T}, \lnot\mathit{U} = \mathit{U}.
现在小 L 有 n 个三值逻辑变量 x_1,\cdots, x_n。小 L 想进行一些有趣的尝试,于是他写下了 m 条语句。语句有以下三种类型,其中 \leftarrow 表示赋值:
- x_i \leftarrow v,其中 v 为 \mathit{T}, \mathit{F}, \mathit{U} 的一种;
- x_i \leftarrow x_j;
- x_i \leftarrow \lnot x_j。
一开始,小 L 会给这些变量赋初值,然后按顺序运行这 m 条语句。
小 L 希望执行了所有语句后,所有变量的最终值与初值都相等。在此前提下,小 L 希望初值中 \mathit{Unknown} 的变量尽可能少。
在本题中,你需要帮助小 L 找到 \mathit{Unknown} 变量个数最少的赋初值方案,使得执行了所有语句后所有变量的最终值和初始值相等。小 L 保证,至少对于本题的所有测试用例,这样的赋初值方案都必然是存在的。
Input
本题的测试点包含有多组测试数据。
输入的第一行包含两个整数 c 和 t,分别表示测试点编号和测试数据组数。对于样例,c 表示该样例与测试点 c 拥有相同的限制条件。
接下来,对于每组测试数据:
- 输入的第一行包含两个整数 n 和 m,分别表示变量个数和语句条数。
- 接下来 m 行,按运行顺序给出每条语句。
- 输入的第一个字符 v 描述这条语句的类型。保证 v 为
TFU+-
的其中一种。 - 若 v 为
TFU
的某一种时,接下来给出一个整数 i,表示该语句为 x_i \leftarrow v; - 若 v 为
+
,接下来给出两个整数 i,j,表示该语句为 x_i \leftarrow x_j; - 若 v 为
-
,接下来给出两个整数 i,j,表示该语句为 x_i \leftarrow \lnot x_j。
- 输入的第一个字符 v 描述这条语句的类型。保证 v 为
Output
对于每组测试数据输出一行一个整数,表示所有符合条件的赋初值方案中,\mathit{Unknown} 变量个数的最小值。
Examples
Input
1 3 3 3 - 2 1 - 3 2 + 1 3 3 3 - 2 1 - 3 2 - 1 3 2 2 T 2 U 2
Output
0 3 1
Hint
【样例解释 #1】
第一组测试数据中,m 行语句依次为
- x_2 \leftarrow \lnot x_1;
- x_3 \leftarrow \lnot x_2;
- x_1 \leftarrow x_3。
一组合法的赋初值方案为 x_1 = \mathit{T}, x_2 = \mathit{F}, x_3 = \mathit{T},共有 0 个\mathit{Unknown} 变量。因为不存在赋初值方案中有小于 0 个\mathit{Unknown} 变量,故输出为 0。
第二组测试数据中,m 行语句依次为
- x_2 \leftarrow \lnot x_1;
- x_3 \leftarrow \lnot x_2;
- x_1 \leftarrow \lnot x_3。
唯一的赋初值方案为 x_1 = x_2 = x_3 = \mathit{U},共有 3 个\mathit{Unknown} 变量,故输出为 3。
第三组测试数据中,m 行语句依次为
- x_2 \leftarrow \mathit{T};
- x_2 \leftarrow \mathit{U};
一个最小化 \mathit{Unknown} 变量个数的赋初值方案为 x_1 = \mathit{T}, x_2 = \mathit{U}。x_1 = x_2 = \mathit{U} 也是一个合法的方案,但它没有最小化 \mathit{Unknown} 变量的个数。
【样例解释 #2】
该组样例满足测试点 2 的条件。
【样例解释 #3】
该组样例满足测试点 5 的条件。
【样例解释 #4】
该组样例满足测试点 8 的条件。
【数据范围】
对于所有测试数据,保证:
- 1 \le t \le 6,1 \le n,m \le 10 ^ 5;
- 对于每个操作,v 为
TFU+-
中的某个字符,1 \le i,j \le n。
测试点编号 | n,m\leq | v 可能的取值 |
---|---|---|
1,2 | 10 | \mathit{TFU+-} |
3 | 10^3 | \mathit{TFU} |
4 | 10^5 | \mathit{TFU} |
5 | 10^3 | \mathit{U+} |
6 | 10^5 | \mathit{U+} |
7 | 10^3 | \mathit{+-} |
8 | 10^5 | \mathit{+-} |
9 | 10^3 | \mathit{TFU+-} |
10 | 10^5 | \mathit{TFU+-} |